ハローワークの求人で学歴が短大卒以上という求人があったのですが、その場合は専門学校卒業ではダメということでしょうか？

明確に分けている企業と、専門学校と短大を同等に扱っている企業があるので、本気で就職したい企業なら直接（ハローワークの方を通じてでも）確認した方がいいですよ。

面接が終わったら企業はハローワークに選考結果通知を出しますが、採用する人だけに合格の連絡をして、その後ハローワークにはきちんと選考結果通知を出さない企業ってよくあるのですか？

紹介状持参でお出でになられた方の、採否は、必ずハローワークへ連絡します。
知らん顔はしません。
FAXで、流せば済むことですから、面倒じゃありません。

退職を伝えるタイミングについて
会社を辞めたいです。今すぐにでも辞めたいのが本音ですが、でも、色々考えて12月まではと考えています。キリがいいというのもありますが、12月最初に賞与があります。賞与が出る前に退職の意向を伝えたら減らされるかなくなりそうなので、いつごろ会社に言おうか迷っています。それでも早めに辞めることを報告しようとは思っていますが、いつごろが適当ですか？
退職届は後にしていまのうちに直属の上司には伝えておいた方がよいのでしょうか？また、辞めるに当たって何か手続きなど（役場とかで）しておくべきことはありますか？

企業側は従業員が辞めると分かった時点で賞与を支給しないと言う処置を取る可能性もあります。
（こちらの方が多いと思いますよ）
法律では「賞与は出さないといけない物」ではありませんので。

それを踏まえて、賞与が欲しいのであれば振り込まれるのを確認してから切り出すのが一番ではないでしょうか。
辞めるタイミングですが、質問者さんの会社の就業規則はどうなっていますか？
１ヶ月前と言うのが多くの会社に見受けられる規定の様です。
それであれば、勧告後１ヶ月で退職が妥当かと思います。
もちろん賞与はいらないと言うのであれば即日勧告するに越した事はありません。

辞めるにあたっては事前手続は何もありません。
雇用保険に加入していて受給資格があれば退職後に失業給付を受ける様であれば離職票を発行してもらってﾊﾛｰﾜｰｸへ。
社会保険に加入していて新しい会社が決まっていないのであれば、国民健康保険への移行手続をお住まいの管轄の役所へ。
いずれも退職後です。

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